【正文】摘要：抽象函数是中学数学中的重要概念，它能代表一类函数，利用它可以研究函数的单调性、对称性、周期性等重要性质，在高考题题中，以客观题出现，常常将函数图像、奇偶性、周期性、对称性和函数的零点等性质综合起来考查，对学生的抽象思维和概括能力要求很高，也是高考的重要考点，本文概括出抽象函数的对称性和周期性的常见结论，并利用这些结论剖析历年的高考题。
关键词：抽象函数  奇偶性  对称性  周期性  数形结合  特殊值  
　　由于抽象函数的奇偶性、对称性、周期性的应用都以客观题出现，因此在平时的教学中可以以专题的形式讲解本节知识点，先告知学生这些结论，教师再一一证明，让学生理解得更透彻，在后面的应用教学中，可以让学生慢慢熟知这些结论，最后达到看见抽象函数的相关恒等式就能快速得出它的具体性质。
一、 单个函数的对称性：
1.函数关于原点对称即奇函数：
2.函数关于对称即偶函数：
3. 函数关于直线 对称：或或  
 4.函数关于点对称：
二．两个函数的对称性
1.函数与函数的图像关于轴对称
2.函数与函数的图像关于轴对称
3.函数与函数的图像关于原点对称
4.函数与函数的图像关于直线对称
5.函数与函数的图像关于直线对称
注意：对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足或关于直线对称”是指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
三.几种特殊的抽象函数的周期：
函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,
1.，则是以为周期的周期函数；
2.，则是以为周期的周期函数；
3.，则是以为周期的周期函数；
4.，则是以为周期的周期函数；
5.，则是以为周期的周期函数.
6.，则是以为周期的周期函数.
7.，则是以为周期的周期函数.
8.函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.
9.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；
注意：
1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有; 二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.
2.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。
历年真题剖析：
例1.（2010年安徽）若是上周期为5的奇函数，且满足，则（      ）
A、－1    B、1       C、－2     D、2
解：
例2.（2011年山东）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为（      ）       （A）6    （B）7     （C）8      （D）9
解：
例3．（2012年山东）定义在上的函数满足.当时，，当时，。则
（A）       （B）        （C）       （D）
解：易知
 
所以
例4.（2012年辽宁）设函数满足，，且当时，，又函数，则函数在上的零点个数为（       ）
　　（A）5           （B）6           （C）7          （D）8 
解：由，可知，f(x)是偶函数，且关于直线x=1对称，又由可知，是以2为周期的周期函数，在同一坐标系中作出在上的图像如图，可知的图像在上有6个交点，即的零点个数为6，故选B.
例5（2016年全国2）．已知函数满足，若函数与图像的交点为则（       ）
（A）0           （B）         （C）           （D）

例６（２０１６年四川）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则            。
解：因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以
，所以，即，，所以.
一般在考察抽象函数的性质时，会综合考察函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、零点等各项性质，我们也常用特值法或数形结合解答。