【正文】元二次方程根的判别式是初中数学学习的的重点，是重要的基础知识，也是解数学题的重要工具.学生在初三后期复习时，作业、练习和考试中，综合性题目型较多，难免会出现这样、那样的问题，感到迷惘而又不知所“错”。在这里简单谈谈“判别式”分别在二次三项式、一元二次方程和二次函数中的应用，以便教师在复习时开门见山地给学生提出，学生在完成这类题目时不会出错。
???一、“判别式”在二次三项式因式分解中的运用，主要用于判断一个式子在实数范围内能否分解。只要是“△≥0”时都能分解，而“△＜0”时，在实数范围内不能分解。同时可用“△=0”判断二次三项式是完全平方式。
（1）、判断二次三项式能否分解因式
  例： 已知k为非正数，试判断二次三项式6x2－4x＋7k在实数范围内能否分解因式．
    解  假设二次三项式在实数范围内能分解因式，即
    6x2－4x＋7k＝6（x－x1）（x－x2），
    则方程6x2－4x＋7k＝0有两个实数根，
    故有△＝（－4）2－4×6×7k≥0，     解得k≤．
    因为已知的k值在此范围内，所以已知式在实数范围内能分解因式．
    又例如：分解因式：（X+1）（X+2）（X-3）（X-4）-50
?????分析：若按整式乘法打开括号，那将出现高次（四次）。故应组合成“双二次”来分解。但要注意，组合时要保持二次项和一次项的系数相同。
（X+1）（X+2）（X-3）（X-4）-50
解：原式=[（X+1）（X﹣3）][（X+2）（X﹣4）]﹣50
????=（X2﹣2X﹣3）（X2﹣2X﹣8）﹣50
????=[（X2﹣2X）﹣3][（X2﹣2X）﹣8]﹣50
????=（X2﹣2X）2﹣11（X2﹣2X）+24﹣50
????=（X2﹣2X）2﹣11（X2﹣2X）﹣26 
????=（X2﹣2X﹣13）（X2﹣2X+2）.....因为X2﹣2X+2的“△＜0”，所以不能分解。
　　    =（X﹣1﹣）（X﹣1+ ）（X2﹣2X+2）
（2）、确定二次三项式是完全平方式的条件
    例如：已知关于x的二次三项式(m＋2)x2－mx－2是一个完全平方式，求m的值．
    分析  因为关于x的二次三项式(m＋2)x2－mx－2是一个完全平方式，所以关于x的方程(m＋2)x2－mx－2＝0有两个相等的实数根，
    ∴△＝b2－4ac
     ＝(－m)2－4(m＋2)×（－2）
     ＝0．
    解得m＝－4．
　　?二、“判别式”在一元二次方程中，主要用于判别有根、无根，根是否相等。在某些由已知条件求值时，判别该实数存在与否。
   (一)、不解方程判定方程根的情况
      例： 关于x的方程2x2－kx＋k－3＝0的根的情况是(    )
    (A)有两个不相等的实数根     (B)有两个相等的实数根
    (C)没有实数根                (D)不能确定
分析：△＝(－k)2－4×2×（k－3）
    ＝k2－8k＋24
    ＝（k－4)2＋8．
    显然，不论k取何值时总有△＝（k－4)2＋8>0．
    所以，方程总有两个不相等的实数根，故选A．
   （二）、根据方程根的情况求字母系数或代数式的值
     例： 判断是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个实数根，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
   解： 由题意，得
         解得m≤，且m≠0．
  而在此范围内的非负整数不存在，故不存在符合题意的非负整数m．
（三）、根据方程根的情况确定待定系数的取值范围
    例：k为何值时，关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋7＝0．
    (1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根．
    分析  由判别式定理的逆定理可知：
    (1)△>0；(2)△＝0；(3)△<0．
    解△＝(－6)2－4·（k＋7）
   ＝36－4k－28＝8－4k．
    (1)∵方程有两个不相等的实数根，
    ∴△>0，即8－4k>0，   解得k<2；
    (2)∵方程有两个不相等的实数根，
    ∴△＝0，即8－4k＝0，    解得k＝2；
  (3)∵方程有两个不相等的实数根，
  ∴△<0，即8－4k<0，     解得k>2．
   （四）、在求代数式值时，判别实数是否存在。
   例：已知ａ是实数，且满足ａ2+ａ﹣1=?，求代数式ａ2+ａ+1的值。
分析：本题的关键是求出ａ2+ａ的值，但同时应注意ａ是否存在
??解：∵ａ2+ａ﹣1=     ∴（ａ2+ａ）2-（ａ2+ａ）=6
     ∴（ａ2+ａ-3）（ａ2+ａ+2）=0
    ∴ａ2+ａ-3=0或ａ2+ａ+2=0
  而ａ2+ａ+2=0中△＜0，故ａ不存在。
   ∴ａ2+ａ=3    ∴ａ2+ａ+1的值为4。
三、“判别式”在二次函数中用于判别与X轴有无交点,有几个交点，还可计算抛物线与X轴两交点间的距离。????
1、可以判断抛物线与直线有无公共点。当“△>0”时，抛物线与X轴有两个不同的交点；“△=0”时，抛物线与X轴有且只有一个交点；“△<0”时，抛物线与X轴没有交点。
     例：:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？
　　    解:列方程组
          消去y并整理得x2+x－m－1=0
　　      ，
         ∵抛物线与直线只有一个交点，
　　∴Δ＝0，即　4m+5=0，∴m=－,
   (说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)
  2、可以判断抛物线与x轴有几个交点
　　分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点，（１）当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
　　①当⊿＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。???
　　②当⊿＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（－）。
　　③当⊿＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
　　例如、判定下列抛物线与x轴交点的个数：
　（１）　（２）　（３）.
　　解：（１）Δ＝16－12=4>0，∴抛物线与x轴有两个交点。
　　（２）Δ＝36－36=0，∴抛物线与x轴只有一个公共点。
　　（３）Δ＝4－16=－12<0， ∴抛物线与x轴无公共点。
  3、利用根的判别式解有关抛物线y=ax2+bx+c（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题
　　分析:抛物线 （Δ>0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 的两根差的绝对值。它有以下表示方法：
　　例如: 求当a为何值时?二次函数图象与x轴的两个交点间的距离是3。
   解：令y=0，得方程，设这个一元二次方程的两根分别为x1和x2，
   则　由　得，即。
   进而得，∴a=或a=。
   ∴当a=－或时，图象与x轴两个交点间的距离是3.
??四、还可用于判别三角形的形状。
    如：设a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程c（x2＋n）＋b（x2－n）－2ax＝0(n>0)有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
    解  将原方程整理，得
    (c＋b)x2－2x＋cn－bn＝0．
    ∵△＝(－2a)2－4×(c＋b)(cn－bn)
   ＝4n（a2＋b2－c2）
   ＝0．
    n>0．
    ∴a2＋b2－c2＝0． 即a2＋b2＝c2．  故△ABC是直角三角形．
?  在使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2－4ac≥0切勿丢掉等号。
     另要特别提醒学生，不要生搬硬套，要具体问题具体分析。以上三种运用只是大方向，而在实际中要综合运用所学知识。