【正文】

人民教育出版社《义务教育教科书 八年级 数学 下册》第63页《实验与探究》中有这样一个结论：如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形ABCO的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形ABCO绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．

图1

    如图2所示，笔者在教学过程中首先运用将正方形ABCO移动到特殊位置引导学生进行两个正方形面积部分的计算若正方形ABCD和正方形ABCO边长均为1，此时四边形EOFB是正方形，．

图2

    此时笔者运用作图软件继续转动正方形ABCO并运用软件计算出正方形ABCD和ABCO以及四边形EOFB的面积引导学生观察数据如图3所示：

图3

    通过观察学生可以发现．

    此时教师引导学生进行在图3状态下的证明：

    △AOE≌△BOF，AO=BO，∠OAE=∠OBF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，所以△AOE≌△BOF．所以．

    根据上述内容，本文称此类模型为“双正方形旋转”模型．结合教学内容，笔者翻阅了近几年全国的中考数学试题，以上述问题作为命题背景结合正方形的性质以及图形的旋转等内容，形成基本模型，对图形进行进一步加工，进行题目的命制．本文选取与上述问题有关并具有代表性的问题进行分析，以便服务于日常教学及中考复习教学．

    一、与“双正方形旋转”有关的考题分析

    例1  2012年 湖南岳阳 第7题

    如图4，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（　　）．

图4

（A）

（B）

（C）

（D）

    例1中，点E的位置在正方形ABCD的对称中心位置，间接给出点E便是图 模型中的点O.根据引言中“双正方形旋转”模型中重叠四边形面积与正方形面积的结论，无论正方形EFGH如何旋转，重叠面积S均为定值．

    此题除考查引言中介绍的几何模型外，结合图形的旋转将其与重叠四边形面积建立函数关系，考查函数图像的形成过程.此题更深层次的含义在于引导学生体会函数的概念，体会函数的形成是在实际问题中通过动态生成数据，最终形成函数所表示的关系以及图像的形成．

    例2  2014年 四川宜宾 第7题

    如图5，将个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积之和是（     ）．

（A）       （B）       （C）        （D）

 

 

 

 

 

 

图5

    此题是引言中模型的具体应用，对于例1，两个边长为2的正方形，其重叠部分四边形的面积是1.对于个正方形，其相互之间重叠部分的四边形共（）个，对应的面积为（）．

    学生在掌握基本图形及结论的同时，要学会根据具体情境，确定个正方形按照题目情境叠放后重叠四边形的个数，从而得到结论．

    此题考查“双正方形旋转”模型关于重叠部分面积这一结论，并结合近年关于由图形产生的数量关系及其规律探究进行综合考查．

    通过对例1和例2的分析，我们不难发现，这两道考题均是依托教材中非正文部分的结论对知识进行延伸考查．因此，从教师教学的角度，需要结合近年来的考题，深入挖掘教材背后隐含的可能考查的知识，同时善于将教材中的问题进行二次甚至多次转化，在完成教学的基础上也对学生的能力进行了提升与培养．

    二、与“双正方形旋转”有关的变式考题分析

    除近年中考题外，在中考模拟题中，对“双正方形旋转”模型也有很多变式考查，我们以下题为例：

    例3  2016 天津北辰 结课考（一模） 第11题

    如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是AB的中点，点D，E是AC，BC边上的动点，且AD=CE，连接DE. 有下列结论：① ∠DPE=90°；②四边形PDCE面积为1；③点C到DE距离的最大值为. 其中，正确的个数是（    ）．

（A）0          （B）1          （C）2          （D）3

图6

    例3中，△ABC根据已知条件能够确定为等腰直角三角形，点P的位置相当于图 中的点O，此题并未确定△PDE的具体形状，连接PC后根据等腰三角形的性质及其他等量关系证明△ADP≌△CEP，根据全等三角形的性质确定∠DPE=90°．此时，我们发现△ABC相当于边长为2的正方形的一部分，而点D，E作为动点，相当于△DPE围绕点P运动，可看作另一个正方形的一部分在围绕点P旋转．因此，②可根据“双正方形旋转”的结论进行判断.点C到DE的距离可以结合图形旋转的“极端”情况得到即CP⊥DE时，此时与图2两个正方形的位置相符．

    此题围绕确定的Rt△ABC及其边上的动点形成的图形进行问题探究．在解决问题过程中结合等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质问题进行考查．例3与教材中的几何模型本质上是一致的．在近年的考题中，对于教材呈现的情形进行改编并考查是命题的必然发展趋势．

    三、由“双正方形旋转”的进一步延伸

    例4  2015年 山东省潍坊中考 第23题

    如图7，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图 ．

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

图7

    例6是两个边长不相等的正方形的“双正方形旋转”模型，（1）围绕图形旋转过程中产生的“生成线段”间的位置关系对学生进行考查．（2）①同样为让图形旋转中所形成的角度考查学生对图形中待定角度数的确定，这里所涉及到的∠OAG′是直角有如下图8的两种情况；②则是图形旋转到“极端状态”下的最值问题如图9所示．在解答题中，需要学生对上述问题中关于图形的旋转情况具备基本的认识，从而进行深入思考，结合图形旋转的情形，对问题进行猜测并验证．

              

               图8                      图9

 

    总之，中考复习教学作为日常教学的一部分有别于我们在非毕业年级的日常教学，在这里需要教师准确把握中考数学的命题方向、命题特点，针对学生的复习情况，做到有的放矢，通过对题型的总结，尽可能在最短时间内做到复习的高效．逐步引导学生，提升学生的数学思想；逐步鼓励学生，提高学生的数学思维；逐步鞭策学生，提升学生问题解决的综合能力．

参考文献

[1]吴健《分析近几年全国各省市中考数学命题特点和高频考点——探究2016年中考数学命题趋势》[J].中数学书初中版，2016，（1）：47-50.

[2]张鑫《2016年中考数学学科备考建议》[J].中小学教学研究，2016，（1）：59-62.

[3]崔华《等腰三角形与正方形的旋转》[J].初中生·考试，2013，（9-10）：72-75.

[4]王小林《借助结合直观 揭示图形性质——对一道中考题的深入思考》[J].初中数学教与学，2015，（11）：37-38.

[5]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书 教师教学用书 数学 八年级 下册[M].北京：人民