【正文】摘   要：命题的否定是指对命题的结论的否定，但是在教学中有些命题，简单地对结论进行否定，会出现命题的真值与命题的否定的真值相同的情况，本文谈谈含有一个量词的命题的否定和蕴涵命题的否定方法。
　　关键词：命题   否定   体会
　　在中等师范学校数学教科书《几何》第一册，第一章我们接触了数学中的逻辑初步知识。掌握一定的逻辑知识，不仅是学习数学和各门学科所必须的，而且对于我们正确认识世界、表达思想和从事工作，都是不可少的。 在逻辑知识中，能准确无误地写出一个命题的否定是十分重要的，命题的否定是反证法的逻辑基础。但在教学中我发现，学生对如何准确无误地写出一个命题的否定感到很难把握，有时教师也会写出错误的“命题的否定”．下面就这一问题谈谈笔者的几点思考，请同行指正．
　　一、什么是命题的否定
　　为了能准确的写出命题的否定，我们需要明确它的概念。在教材中，把可以判断真假的语句叫做命题．由命题的定义可知命题非真即假，非假即真。且命题的核心内容是判断．判断可以分为以下几类： 
　　就事物属性来说，有肯定判断（2是偶数），否定判断（2不是偶数），无限判断(2不是鸭子)；
　　就事物关系来说，若从主语的某种关系的角度，有单称判断（2是偶数），特称判断（能被2整除的数是偶数），全称判断（所有的整数都是偶数）．或者从主语的实在性的角度，可分为假言判断（如果一个数能被2整除，则它是偶数），选言判断（一个整数或是偶数或是奇数），联言判断（2既是偶数也是质数），等等．
　　这样，我们可以把命题分为简单命题和复合命题．其中简单命题包括单称命题、特称命题、全称命题；复合命题的形式则包括“非”、“选言” 、“联言” 、“假言”、“等值”等五种形式．命题的否定是把命题的判断部分进行否定，从而构成一个新的复合命题形式，即“非”，其中可以为简单命题，也可以为复合命题，若为复合命题，则“非”可以看成是双重复合命题．我们对命题进行否定，只需要对命题的判断部分加以否定即可，不同种类的判断采用不同的方法进行否定，如“是”与“不是”之间的互否，“选言”与“联言”之间的互否等等．
　　二、“都”、“不都”、“都不”之间的关系
　　我们知道，对于“都”的否定用“不都”表示，而不能用“都不”．如命题：“1、2、4、8都是8的约数”的否定是“1、2、4、8不都是8的约数”．事实上，“都”表示全称肯定，是一个全称量词，它的否定形式应为一个特称否定，因而用“不都”来表示它的否定，而对于“都不”应是一个全称否定的表达，它的否定形式则需要一个特称肯定词，如可用“至少有一个”来表达．如，命题：“个位上是奇数的数都不能被2整除”的否定是“至少有一个个位上是奇数的数能被2整除”．也就是说，若所给命题是全称命题，则我们不仅要否定句中谓词，同时还要把句中的全称量词否定为一个特称量词．比如命题：“所有的整数都是偶数”的否定是“存在整数不是偶数”．
　　命题中全称量词常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”、“都”、“全”等词语表达，在否定时相对应的特称量词有“存在”、“不都”、“不全”等．
　　三、“至少”与“至多”的关系
　　命题“平面内凸多边形的内角至多有三个是锐角”的否定不是“平面内凸多边形的内角至少有三个是锐角”，而是“平面内凸多边形的内角至少有四个是锐角”．此类命题的写法应该利用补集的观点罗列出来再写出它的反面情况，否则会出现重复．再如，命题“当b2 - 4ac≤0时，方程ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 至多有一个实数根”的否定为“当b2 - 4ac≤0时，方程ax2 + bx + c = 0 (a≠0)至少有两个实数根” ．
　　另外，我们要注意命题中是用“至少有一个”来表达的情况．命题“至少有一个角α，使得sinα = 0”的否定不能写成“至多没有一个角α，使得sinα = 0”，这样的说法不合语言习惯，而应该是“没有一个角α，使得sinα = 0”或“对所有的角 α，都有 sinα ≠ 0”．其否定又比较类似于特称命题与全称命题之间的否定方法，因为“至少有一个”所表达的含义重在“有”，即“存在”的意思．
　　四、假言命题的否定
　　在写出假言命题的否定时，通常认为“若则”的否定是“若则”．如命题“若一个四边形是平行四边形，则它的对角线相互平分”的否定为“若一个四边形是平行四边形，则它的对角线不相互平分” ．但是，把“若a·b = 0，则a = 0”的否定写成“若a·b = 0，则a ≠ 0”就有问题了．很显然，这里的“p”与“  ┐p”都是假命题．为什么一个正确，另一个又错了？
　　假言命题就是逻辑代数中的“蕴涵”，根据“蕴涵”的意义，p→q是“若所有p成立则q成立”，也可以说“若所有p成立则 ┐p不成立”，即“p→q = ┐(p∧(┐q))”．由命题演算定律知：┐(p→q)= p∧(┐q) ．由此可写出假言命题（ p→q）的否定．例如，命题 “若a + b是偶数，则a和b是偶数”的否定是“存在数a、b，使得a + b是偶数，且a和b不是偶数”；再如，“若a·b = 0，则a = 0”的否定是“存在数a、b，使得a·b = 0，且a ≠ 0”．
　　五、缺省量词命题的否定
　　由于全称量词表示主语的全部外延，可以省略不写，从而使我们常将全称命题作为单称命题处理而出错．因此我们在写命题否定时，必须找出其省略掉的全（特）称量词．如命题“正偶数不是质数”的否定写成“正偶数是质数．”是不对的，很显然，这里的“p”与“┐p”都是假命题．这个命题应理解为“所有正偶数不是质数”，是假命题．它的否定是“存在正偶数不是质数”．为真命题．再如：命题“方程x2 = 1的根是1”应理解为“方程x2 = 1的所有根是1”．否定不能写成“方程x2 = 1的根不是１”．需要明确的是，这里命题的判断属特称判断而不是单称判断，其主语是一类数（类属方程x2 = 1的根），正确的否定形式是“存在方程x2 = 1的根不是1”．
　　在命题的否定的教学中，只有清楚各种类型的命题的形式和本质，才能准确地写出命题的否定，避免逻辑性错误。如果简单地模仿，对培养和发展学生的逻辑思维能力是有害的。这就是我的一点体会，不当之处，敬请同行指正。